最初から学ぶ面積

面積とは，広さをあらわす量のことです．ここでは，広さをあらわす方法と，その計算方法について説明します．
長方形・三角形の面積
平行四辺形・台形の面積
多角形の面積と図形の分割
Σによる簡単な計算

長方形・三角形の面積

はじめに，もっとも簡単に面積を考えられる長方形・三角形の面積について考えます．すでに計算方法を知っている人も，面積の考え方を復習するために，軽く読んでおくことをおすすめします．

長方形の面積・１

┌┐
└┘

この正方形Ａと，

┌─┐
│　│
└─┘

この正方形Ｂの広さ（大きさ）を比べることにします．正方形ＡとＢを，左上をそろえて重ねると，

┌┬┐
├┘│
└─┘

このようになって，Ｂの方が大きいことがわかります．
この「大きい」「小さい」を，もっとくわしく調べることにします．

Ａと同じ正方形をいくつか用意してＢにきれいに重ねてみましょう．

┌┰┐
┝╋┥
└┸┘

じつは，４つのＡがちょうどＢに重なります．
このように，Ｂの正方形１枚を埋めるために，Ａの正方形が４枚必要なとき，

と書くことにします．この式は，

という意味です．この「広さ」のことを面積と呼びます．

同じように，長方形Ｃが

┌───┐
│　　　│
└───┘

こんな形だったとします．このとき，はじめの正方形Ａを使うと，

┌┰┰┰┐
┝╋╋╋┥
└┸┸┸┘

このように，ピッタリしきつめることができるので，

と書きます．また，Ａの代わりにＢを使えば，

┌─┰─┐
│　┃　│
└─┸─┘

このように重ねることができるので，

とも書けます．

さて，日常生活では，いろんな図形の広さを「縦・横の長さが１cmの正方形」によって表すことがあります．

縦・横の長さが１cmの正方形には，cm² という名前をつけます．
cm² は「へいほうセンチメートル」と読みます．

同じように，縦・横の長さが１mの正方形にはm²という名前がついています．
m² は「へいほうメートル」と読みます．

例：縦の長さが２m ，横の長さが３m の長方形Ｄがあったとき，この長方形の面積を求めてみます．

┌┰┰┐
┝╋╋┥
└┸┸┘

この図の小さい正方形の辺を１m と考えると，縦・横１m の正方形が６つあるので

となります．

長方形の面積・２

cm² や m² を使って面積を考えるとき，いちいち正方形を重ねるのは手間がかかります．
そこで，かんたんな計算の方法を考えます．

縦の長さが３m ，横の長さが６m の長方形Ａがあったとします．このとき，長方形に１m ごとに真っ直ぐに線を引くと，

┌┰┰┰┰┰┐
┝╋╋╋╋╋┥
┝╋╋╋╋╋┥
└┸┸┸┸┸┘

上下に３つずつ，左右に６つずつのマスができます．
そこで，これを数えるときには掛け算を使って

という計算をすれば，

となります．

このように，長方形の縦の長さと横の長さが分かっていれば，その面積は

によって計算できます．これはどんな長方形でも成り立つ計算式です．

長方形の面積・３

１m²が何cm²になるか，考えてみます．

だったので，

ということになります．

ところで，逆に1cm²は何m²であると言えばよいでしょうか？
1cm²が10000個で，1m²ですから，逆に言えば1m²を10000個に分けたうちの１つ分が1cm²ということです．

この「10000個に分けたうちの１つ分」のことを

と書くことにすると，

と書くことができます．この 1/10000 のような形で表現される数のことを，分数と言うのでした．

（PCでは分数を表示するときには，1/10000 のように/の左に分子を，/の右に分母を書くことがあります．普通の分数は，－の上に分子を，下に分母を書くのでした．）

面積を表現するときには，このように分数を用いる場合もあります．分数の計算方法については，「やさしいすうがくのうた」などを参考にしてください．

三角形の面積・１

　　 /|
　　/ |
   /　| 4cm
  /___|
   2cm

このような形をした直角三角形Ａがあったとします．
Ａの縦の辺の長さは４cm，横の辺の長さは２cmだったとしましょう．
このとき，Ａの面積は何cm²になるでしょうか．

上の直角三角形を２枚用意して，うまく組み合わせることで，

  ____
 |　 /|
 |　/ |
 | /　| 4cm
 |/___|
   2cm

このような長方形Ｂを作ることができます．Ｂの面積は，

です．いま，Ｂの面積はＡ二枚分なので，Ａの面積はＢの半分で

と考えられます．

直角三角形の面積は，このように

で計算できます．
ただし，この「たて・よこ」というのは，垂直に交わる２つの辺のことを言います．
直角三角形には３つの角がありますが，垂直な角以外では，この計算方法は使えません．

たとえば，直角三角形Ｃが

　　 /|
 5cm/ |
   /　| 4cm
  /___|
    3cm

右の辺が４cm，下の辺が３cm，左上の辺が５cm
という三角形だったとすると，垂直な角は右下の角だけなので，
Ｃ＝５×４÷２ cm²　とか　Ｃ＝３×５÷２ cm²　というのは間違いです．

正しい計算は，右の辺と下の辺の積を取って

となります．直角三角形の面積を計算する場合，二つの辺が垂直に交わるか，注意しましょう．

三角形の面積・２

今度は，直角三角形以外の一般の三角形について考えます．

結論をはじめに言っておくと，

となるのですが，以下詳しく説明します．

　　 / ＼
　　/  　＼
   /　 　　＼
  /          ＼
  ￣￣￣￣￣￣

このような三角形Ａがあったとします．この三角形の面積を考えます．
図の上に書いてある頂点から，向かい合う辺に向かって垂直に線を引いてみます．

　　 /|＼
　　/ |　＼
   /　|　　＼
  /   |      ＼
  ￣￣￣￣￣￣

そうすると，三角形Ａは，２つの直角三角形の合わさったもの，と考えることができます．
いま，この三角形の下の辺の長さが７cmで，新しく引いた垂直な線の長さが６cmだったとします．
ここで，直角三角形の面積を考えたときのように，もう１枚ずつ同じ直角三角形たちを用意すると，

  _____________
 |　 /|＼      |
 |　/ |　＼    |
 | /　|　　＼  |
 |/   |      ＼|
  ￣￣￣￣￣￣

このような長方形を作ることができます．この長方形の面積は

と計算できるので，元の三角形Ａの面積は，この半分の

と計算できます．

さて，この方法で三角形の面積を計算するとき，重要なのは，
「下の辺の長さ」と「頂点から下ろした垂直な線の長さ」です．
この「下の辺の長さ」のことを，底辺（の長さ）と呼ぶことにし，
また「頂点から下ろした垂直な線の長さ」を高さと呼ぶことにすれば，
一般の三角形の面積は

と表現できます．

この場合で重要なのは，直角三角形の場合と同じく，垂直に交わることです．
たとえば，

    A
    |＼
　  |  ＼D
  　|   /＼
    |  / 　＼
    | /      ＼
    |/         ＼
   B ￣￣￣￣￣￣C

この図において三角形△ABCの面積を考えるとき，ACを結ぶ線分とBDを結ぶ線分は垂直に交わっていないので，ACの長さ×BDの長さ÷２を計算しても正しい面積になりません．
高さは底辺から垂直にはかると覚えておきましょう．

※２つの線分の交わり方が垂直でないときは，三角比 sin を用いて計算することができます．

平行四辺形・台形の面積

さて，世の中の図形は，長方形と三角形だけではありません．他の図形の面積を求めるために，少しずつ計算を応用していくことにしましょう．
中心となるのは，図形を三角形に分割する方法や，あるいは同じ図形を組み合わせるといった方法です．

はじめに，今回考える図形についての結論を述べておくと，

となります．これからその理由・考え方を説明していきます．

これらの「公式」を覚えている人もいると思いますが，「なぜこの計算式になるのか説明できない」という人には一読をおすすめします．飛ばす場合は次の多角形の面積へどうぞ．

平行四辺形の場合

平行四辺形とは，２組の向かい合う辺が，それぞれ平行な四角形のことです．

＿＿＿
＼　  ＼
　＼  　＼
　　￣￣￣

このような図形が平行四辺形の例です．上の辺と下の辺は平行で，左の辺と右の辺も平行です．ここで，平行四辺形の底辺と，底辺に対応する高さを次のように定めます．

＿＿＿
＼　  ＼　↑高さ
　＼  　＼↓（垂直に測る）
　　￣￣￣
　　←─→　底辺（の長さ）

さて，この平行四辺形の面積を求めることを考えます．

この図形に斜めに線を入れてやると，

＿＿＿
＼　 /＼
　＼/ 　＼
　　￣￣￣

このように２つの三角形に分割することができます．したがって，この２つの三角形の面積が分かれば，平行四辺形の面積も分かります．この２つの三角形は実は同じ形をしているので，片方の三角形の面積の２倍が平行四辺形の面積です．さて，

　　 /＼　↑高さ
　　/ 　＼↓（垂直）
　　￣￣￣
　　←─→底辺

だったので，平行四辺形の面積は

となります．

例：底辺が ４cm，高さが ２cm の平行四辺形の面積は

と計算できます．

※垂直でない場合は，やはり三角比sinを用いて計算します．

台形の場合

台形とは，少なくとも１組の向かい合う辺が平行な四角形のことです．

  ＿＿
 /　  ＼
/  　 　＼
￣￣￣￣￣

この四角形は，上の辺と下の辺が平行なので，台形です．この例の場合，左の辺と右の辺が平行でないので，平行四辺形にはなっていません．

台形の上辺と下辺を，それぞれ上の辺と下の辺のことと定めます（そのまま）．また，台形の高さを，上辺・下辺に対して垂直に測った幅とします．

　上辺
  ＿＿
 /　  ＼　↑高さ
/  　 　＼↓（垂直）
￣￣￣￣￣
　下辺

さて，ここで，同じ台形をもう一つ用意して，逆さにして組み合わせてみましょう．

  ＿＿＿＿＿＿＿
 /　  ＼　     /
/  　 　＼　　/
￣￣￣￣￣￣￣

このように，大きな平行四辺形ができました．この平行四辺形の底辺（の長さ）は　上辺＋下辺　なので，
台形の面積×２　＝　大きな平行四辺形の面積　＝　（上辺＋下辺）×高さ
と計算できます．大きな平行四辺形は台形２つ分なので，台形の面積はその半分となり

と計算できることが分かります．

例：上辺が ７cm，下辺が ５cm，高さが ４cm の台形の面積は

と計算します．

多角形の面積と図形の分割

さて，平行四辺形の面積と台形の面積を求めるにあたって，

という方法を用いました．

ここで，直角三角形の面積を求めた時のことを思い出してみます．同じ直角三角形を２つ用意することで，面積が長方形の半分であると考えたのでした．

また，もっとさかのぼって考えると，長方形の面積の説明をしたときは「たて・よこ１cmの正方形何枚分になるか」を考えたのでした．

これらの例に限らず，他にもいろんな図形の面積を考える場合において，「分割」と「組み合わせ」を考えることがとても大切になります．

多角形の面積

その例として，次のような図形を考えてみましょう．

例：

 　／＼  ↑２cm
 ／　　＼↓ 
│　　　│
│　　　│ ４cm
│　　　│
└───┘
　５cm

図の五角形の面積を求めようと思った場合，次のように２つのパーツに分割します．

 　／＼  ↑２cm
 ／　　＼↓
 ￣￣￣￣
 ＿＿＿＿
│　　　│
│　　　│ ４cm
│　　　│
└───┘
　５cm

そうすると，三角形と長方形になるので，それぞれ面積を求めると

となり，五角形の面積は合計して

と分かります．

この方法を踏まえると，いくつかの線分で囲まれた図形（多角形と呼ばれる）の面積を求めるためには，

   ＿＿＿＿
　/　　　　＼
 /　　　　　 ＼
｜             ＼
｜             　＼
 ＼　　　　　　　／
   ＼　　　　　／
     ＼　　　／
     　￣￣￣
     　　↓
     
　/| |￣￣| |￣￣| |＼
 / | |　  | |　　| |  | |＼
｜ | |    | |    | |  | |  ＼
｜ | |    | |    | |  | |  　＼
 ＼| |　　| |　　| |　| |　　／
      ＼　| |　　| |　| |　／
        ＼| |＿＿| |＿| |／

このように，適当な台形や三角形に分割して，それぞれの図形の高さや底辺・上辺・下辺などを測れば，面積を計算することができます．

分割の方法はひとつではないので，他にも

   ＿＿＿＿
　/　　　　＼
 /　　　　　 ＼
 ￣￣￣￣￣￣￣
 ＿＿＿＿＿＿＿
｜             ＼
｜               ＼
 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
 ＼　　　　　　　／
   ＼　　　　　／
     ＼　　　／
     　￣￣￣

こんな風に分割することもできます．分割のしかたによって，計算の方法も少し異なりますが，このようにして多角形の面積を計算できます．（ただし，各パーツの底辺・上辺・下辺・高さなどの長さを測定する必要がありますが．）

Σ記号の導入

今述べた「分割して計算する」方法によって，

と書くことができます．これを数学っぽく，記号を用いて書くと

となります．

このΣというのはシグマと読みます．略記のために「合計」→「Σ」と置き換えて，文の先頭に持って来て，Σ分割した図形の面積　と書いています．今後，Σは「合計」「和」を表す記号として用いられます．

さらに記号を使った記述を紹介しましょう．いま，最初の多角形を５つの図形に分割したとします．このとき，５つの図形（の面積）が，それぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅだったとすると，

と書くことができます．

ところで，今度は別の図形を３０個に分割したとします．３０個の図形にＡ，Ｂ，Ｃ，…と別の名前を付けていくと，大文字のアルファベットでは数が足りず，面倒です．

そこで，Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃，…，Ｓ₃₀と名前をつけることにすると，

となります．この式の右辺は，Ｓの右下についた数を１つずつ変えて足すことを繰り返しています．このことを，Σ記号を用いて次のように書きます．

もう少し詳しく説明すると，

とΣ記号の意味を定義しておきます．

このようにΣを使って表現しても，最初は何のことかよく分からない場合もあると思います．また，実際に，Σを使って表現してもメリットがない場合や，分割以外の方法で簡単に面積を求められる場合もあります．上で用いた例の図形については，Σを用いることには略記程度の意味しかありません．

しかし，

という事情があるので，今後のためにΣという記号を導入しておきます．

Σによる簡単な計算

Σの計算は，面積に限らず他の場面でも広く用いられるものです．Σの一般的な計算方法については別のページで述べるとして，ここでは簡単な場合についての説明をします．

Σi ，Σ1 の計算

例題（重要！）：次のような６段の階段形の図形の面積を求めよ．ただし，一段の高さは１cmとする．

┌┐
│└┐
│　└┐
│　　└┐
│　　　└┐
│　　　　└┐
└─────┘

分割を用いた解答：はじめの図形を次のように分割する．

┌┐
├┴┐
├─┴┐
├──┴┐
├───┴┐
├────┴┐
└─────┘

上から順に，面積をＳ₁，Ｓ₂，…，Ｓ₆とおく．このとき，（単位を省略すると）Ｓ₁＝１，Ｓ₂＝２，…，Ｓ₆＝６で，求める面積は

より２１cm²であることが分かる．（解答終）

注意：これはΣを用いて書くとΣ_i=1⁶ i と書くことができます．

分割を用いない解答：もうひとつ同じ図形を用意して，ひっくり返して組み合わせると，

　　┌─────┐
┌┐└┐　　　　│
│└┐└┐　　　│
│　└┐└┐　　│
│　　└┐└┐　│
│　　　└┐└┐│
│　　　　└┐└┘
└─────┘

　　　　↓

┌┬─────┐
│└┐　　　　│
│　└┐　　　│
│　　└┐　　│
│　　　└┐　│
│　　　　└┐│
└─────┴┘

この大きな長方形の面積は，６×７ cm²＝４２cm²なので，階段形の面積は

と計算できる．（解答終）

では，これが６段ではなく，100段の場合ではどうでしょうか．

以下，単位を省略することにして，分割を使わずに組み合わせる方法で考えると，100×(100+1)の大きさの長方形ができるので，

と考えることができます．

さて，面積はこれで計算できるのですが，上の分割を用いる方法で考えれば

と考えることもできました．このことから，Σに関する式

が成り立つことが分かります．今は６段と100段でだけ考えましたが，1000段でも10000段でも489621段でも，同じように計算できます．そこで，段の数がｎの階段形の面積について同様に考えれば，

という関係が成り立ちます．この式は非常に重要です．

ここで，もう一つ「明らかな」計算を紹介しておきます．

例題：次のような形をした，高さｎcm，横１cmの塔の面積を，上と同じように１cmずつ分割して，Σを用いて表せ．

┌┐
││
││
││
││
││
└┘（図はｎ＝６）

解答：

┌┐
├┤
├┤
├┤
├┤
├┤
└┘（図はｎ＝６）

と考えると，常にＳ_i＝１なので，上の例題と同様にΣを用いて表せば

と書ける．（解答終）※Σの「中身」に i が出てこない！

この例題から，

が成立することがわかります．

注意：わざわざnをΣで書いて下らないことをしているように見えますが，この関係式は今後意味を持つので注意しておきます．

Σai ，Σa (aは定数)の計算

ここでは

のように，「Σの中の定数を外に出せる」ことを説明します．ただし，a はΣで動かす変数(この場合で言う i )とは関係ない定数です．

さて，次の問題を考えます．

例題：次のような５段の階段形の図形の面積を求めよ．ただし，一段の高さは１cm，横幅を２cmとする．

┌─┐
│　└─┐
│　　　└─┐
│　　　　　└─┐
│　　　　　　　└─┐
└─────────┘

分割による解答：

┌─┐
├─┴─┐
├───┴─┐
├─────┴─┐
├───────┴─┐
└─────────┘

このように分割すると，Ｓ₁＝２，Ｓ₂＝４，…，Ｓ₅＝１０で，求める面積は

である．（解答終）

これで答えは分かりましたが，別の計算方法について考えましょう．まず，上の式は，Σを用いれば

と書けることに注意しておきます．

この問題の図形は，以前の階段を横に２倍に引き伸ばしたもの，とも言えます．そうすると，この図形の面積は

┌┐　　　　　┌┐
│└┐　　　　│└┐
│　└┐　　＋│　└┐
│　　└┐　　│　　└┐
│　　　└┐　│　　　└┐
└────┘　└────┘

と等しいと考えられるので，

このような計算の仕方もできます．これを少し大げさに書けば，

となります．このように，２つの求め方を考えれば，

という関係が成り立つことが分かります．

これは，例えば５段を８０段にしてみても，一つの段の横幅が２倍の場合は

と計算できます．一般に，段の数が n のときは

となります．一般に，幅が２以外の場合も，同じように計算できます．

例題：一段の高さ１cm，横幅６cm，１０段からなる階段型の図形の面積を求めよ．

解答：上と同じように，通常の図形の６倍と考えれば

と計算できる．（解答終）

この計算方法は，どんな横幅についても用いることができます（横幅が分数などでもよい！）．つまり，一般にΣについて

が成り立ちます．そこで，Σiの計算の仕方を覚えておけば，Σaiはそれをa倍するだけで求まる，ということになります．この計算方法は重要なので，覚えておきましょう．

ところで，同じようなことがΣaの計算についても言えます．一見ばかばかしい計算ですが，次も重要です．

例：高さn cm，横幅a cmの長方形がある．これを，(1)高さについて1cmずつに区切りΣの式を作る方法と(2)高さn cm，横幅1cmの棒の面積のa倍と考える方法の２通りの方法を考えると，

が成立する．

Σai+b の計算

ここでの目標は，

のようにΣを「分解」できることを説明することです．この性質はΣの線形性と呼ばれますが，これについて詳しく説明していきます．